負定矩陣和負半定矩陣（負定矩陣）

關于負定矩陣和負半定矩陣，負定矩陣這個問題很多朋友還不知道，今天小六來為大家解答以上的問題，現在讓我們一起來看看吧！

1、一. 定義 因為正定二次型與正定矩陣有密切的聯系，所以在定義正定矩陣之前，讓我們先定義正定二次型: 設有二次型 ,如果對任何x 0都有f(x)>0( 0) ，則稱f(x) 為正定(半正定)二次型。

2、 相應的，正定(半正定)矩陣和負定(半負定)矩陣的定義為: 令A為 階對稱矩陣，若對任意n 維向量 x 0都有 ＞0(≥0)則稱A正定(半正定)矩陣;反之，令A為n 階對稱矩陣，若對任意 n 維向量 x≠0 ,都有 ＜0(≤ 0)， 則稱A負定(半負定)矩陣。

3、 例如，單位矩陣E 就是正定矩陣。

4、 二. 正定矩陣的一些判別方法 由正定矩陣的概念可知，判別正定矩陣有如下方法: 1.n階對稱矩陣A正定的充分必要條件是A的 n 個特征值全是正數。

5、 證明:若 ， 則有 ∴λ＞0 反之，必存在U使 即 有 這就證明了A正定。

6、 由上面的判別正定性的方法，不難得到A為半正定矩陣的充要條件是:A的特征值全部非負。

7、 2.n階對稱矩陣A正定的充分必要條件是A合同于單位矩陣E。

8、 證明:A正定 二次型 正定 A的正慣性指數為n 3.n階對稱矩陣A正定(半正定)的充分必要條件是存在 n階可逆矩陣U使 ;進一步有 (B為正定(半正定)矩陣)。

9、 證明:n階對稱矩陣A正定，則存在可逆矩陣U使 令 則 令 則 反之， ∴A正定。

10、 同理可證A為半正定時的情況。

11、 4.n階對稱矩陣A正定，則A的主對角線元素 ，且 。

12、 證明:(1)∵n階對稱矩陣A正定 ∴ 是正定二次型 現取一組不全為0 的數0,…,0,1,0…0(其中第I個數為1)代入，有 ∴ ∴A正定 ∴存在可逆矩陣C ，使 5.n階對稱矩陣A正定的充分必要條件是:A的 n 個順序主子式全大于零。

13、 證明:必要性: 設二次型 是正定的 對每個k,k=1,2,…,n,令 ， 現證 是一個k元二次型。

14、 ∵對任意k個不全為零的實數 ，有 ∴ 是正定的 ∴ 的矩陣 是正定矩陣 即 即A的順序主子式全大于零。

15、 充分性: 對n作數學歸納法 當n=1時， ∵ ， 顯然 是正定的。

16、 假設對n-1元實二次型結論成立，現在證明n元的情形。

17、 令 ， ， ∴A可分塊寫成 ∵A的順序主子式全大于零 ∴ 的順序主子式也全大于零 由歸納假設， 是正定矩陣即，存在n-1階可逆矩陣Q使 令 ∴ 再令 ， 有 令 ， 就有 兩邊取行列式，則 由條件 得a＞0 顯然 即A合同于E ， ∴A是正定的。

18、 三. 負定矩陣的一些判別方法 1.n階對稱矩陣A是負定矩陣的充分必要條件是A的負慣性指數為n。

19、 2.n階對稱矩陣A是負定矩陣的充分必要條件是A的特征值全小于零。

20、 3.n階對稱矩陣A是負定矩陣的充分必要條件是A的順序主子式 滿足 ， 即奇數階順序主子式全小于零，偶數階順序主子式全大于零。

21、 由于A是負定的當且僅當-A是正定的，所以上敘結論不難從正定性的有關結論直接得出，故證明略。

22、 四.半正定矩陣的一些判別方法 1. n階對稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的正慣性指數等于它的秩。

23、 2. n階對稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的特征值全大于等于零，但至少有一個特征值等于零。

24、 3. n階對稱矩陣A是負定矩陣的充分必要條件是A的各階主子式全大于等于零，但至少有一個主子式等于零。

25、 注:3中指的是主子式而不是順序主子式，實際上，只有順序主子式大于等于零并不能保證A是半正定的，例如: 矩陣 的順序主子式 ， ， ， 但A并不是半正定的。

26、 關于半負定也有類似的定理，這里不再寫出。

本文分享完畢，希望對大家有所幫助。

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