循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)嗎

循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)嗎？

在數(shù)學中，有理數(shù)是指可以表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)，即形如 \( \frac{p}{q} \) 的形式，其中 \( p \) 和 \( q \) 都是整數(shù)且 \( q \neq 0 \)。而循環(huán)小數(shù)是指小數(shù)部分從某一位開始，數(shù)字以固定順序重復出現(xiàn)的小數(shù)，例如 \( 0.\overline{3} \)（即 \( 0.3333\ldots \)）或 \( 0.142857\overline{142857} \)。

那么問題來了：循環(huán)小數(shù)是否屬于有理數(shù)？答案是肯定的。循環(huán)小數(shù)確實是有理數(shù)。下面我們通過一個具體的例子來說明這一點。

循環(huán)小數(shù)轉化為分數(shù)

以 \( 0.\overline{3} \) 為例，我們可以證明它是有理數(shù)。設 \( x = 0.\overline{3} \)，則有：

\[ x = 0.3333\ldots \]

將兩邊同時乘以 10：

\[ 10x = 3.3333\ldots \]

然后用 \( 10x - x \) 消去小數(shù)部分：

\[ 10x - x = 3.3333\ldots - 0.3333\ldots \]

\[ 9x = 3 \]

解得：

\[ x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \]

因此，\( 0.\overline{3} \) 可以寫成分數(shù) \( \frac{1}{3} \)，這表明它是一個有理數(shù)。

更一般的證明

對于任意循環(huán)小數(shù)，都可以通過類似的方法將其轉換為分數(shù)。假設一個循環(huán)小數(shù)為 \( 0.a_1a_2\ldots a_k\overline{b_1b_2\ldots b_m} \)，其中 \( a_1a_2\ldots a_k \) 是非循環(huán)部分，\( b_1b_2\ldots b_m \) 是循環(huán)部分。我們可以通過設置變量并利用代數(shù)運算消去循環(huán)部分，最終將其化為分數(shù)形式。

結論

綜上所述，循環(huán)小數(shù)總是可以表示為分數(shù)的形式，因此它們一定是有理數(shù)。這一性質使得循環(huán)小數(shù)成為研究有理數(shù)的重要對象之一。通過這種方式，我們不僅能夠理解循環(huán)小數(shù)的本質，還能進一步深化對有理數(shù)概念的認識。

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